Vissza az előzőleg látogatott oldalra (nem elérhető funkció)Vissza a tananyag kezdőlapjára (P)Ugrás a tananyag előző oldalára (E)Ugrás a tananyag következő oldalára (V)Fogalom megjelenítés (nem elérhető funkció)Fogalmak listája (nem elérhető funkció)Oldal nyomtatása (nem elérhető funkció)Oldaltérkép megtekintése (D)Keresés az oldalon (nem elérhető funkció)Súgó megtekintése (S)

Open source fejlesztő eszközök, elméleti rész / Digitális szűrések elméleti háttere

Tanulási útmutató

Összefoglalás

A digitális szűrések általában azok a képfeldolgozó eljárások, amelyek vagy az időtartományban, vagy a frekvenciatartományban manipulálják a képet. Ezen műveletek elméleti hátterét tekintjük át ebben a leckében.

Követelmény

Az ismeretek elsajátítása, az ellenőrző kérdések sikeres megválaszolása

Digitális szűrések elméleti háttere

A digitális szűrések általában azok a képfeldolgozó eljárások, amelyek vagy az időtartományban, vagy a frekvenciatartományban manipulálják a képet. Az időtartományt történeti okokból nevezzük annak, helyesebb volna inkább tértartománynak hívni. A frekvenciatartománybeli képet spektrumnak is nevezzük.

Jelöljük a képet s(t)-vel, a kép spektrumát S(f)-el és a Fourier-transzformációt F-el. Az idő- és a fekvenciatartományt a Fourier-transzformáció köti össze:

S(f) = F {s(t)}

A művelet inverze a

s(t) = F -1{S(f)}

Bizonyos szűrési eljárások hatását függvények formájában (átviteli függvény) adjuk meg a frekvenciatartományban (pl. konvolúciós szűrők), míg mások csak az időtartományban értelmezhetők (pl. medián szűrő). Ha például egy kép spektrumát megszorozzuk egy olyan négyszögfüggvénnyel, amely [-f, f] intervallumon kívül nulla, akkor a spektrumból eltávolítjuk az f felső határfrekvenciánál nagyobb frekvenciájú összetevőket (vagyis simítjuk). A megváltozott spektrum inverz Fourier-transzformációjával megkapjuk a simított képet. A simítás mértéke természetesen függ a felső határfrekvenciától, mely minél alacsonyabb, annál erősebb a simítás.

Általánosságban tehát a digitális szűrők működése a következő:

A legtöbb „jól viselkedő” függvény Fourier-transzformálható. Mivel ismert a szűrési műveletünk átviteli függvénye (magunk adjuk meg, attól függően, hogy mit akarunk csinálni a képpel), akkor annak inverz Fourier-transzformáltja előre kiszámítható. Az ismert konvolúciós azonosság szerint két függvény konvolúciója az időtartományban, megegyezik ezen függvények spektrumainak szorzatával:

s(t) * a(t) = F-1 {S(f) A(f)}

Ezt az összefüggést kihasználva, és az átviteli függvény inverz Fourier-transzformációjának ismeretében, az időtartományban is elvégezhetjük a szűrést, mégpedig úgy, hogy az eredeti képet (az időtartományban) konvolváljuk az átviteli függvény inverz Fourier-transzformáltjával:

s'(t) = s(t) * F-1{A(f)},

A(f) az átviteli függvény.

Az eddig okfejtések folytonos esetekre vonatkoztak. Diszkrét esetben a Fourier-transzformáció neve diszkrét Fourier-transzformáció (DFT), amelynek gyors és hatékony algoritmusa a gyors Fourier-transzformáció (FFT). s(t) a digitális kép, és az átviteli függvény A(f) is diszkrét, beleértve annak inverz Fourier-transzformáltját is, vagyis az a(t) függvény mintavételezett értékeivel fog történni az időtartománybeli konvolúció.

Az átviteli függvény inverz Fourier-transzformáltjának diszkrét változatára bevezették a kernel elnevezést, amely mára önálló fogalommá vált. Nemcsak olyan esetekben használják, amikor a művelet hatása megadható a spektrum valamely függvénnyel történő szorzataként, hanem olyan esetekben is, amikor az időtartománybeli művelet hatása nem adható meg a frekvenciatartományban (pl. rangszűrők).

A legtöbb digitális szűrő kernelt használ. Ezek a szűrők alapvetően úgy működnek, hogy egy kernelt, vagyis egy [(2k+1) * (2k+1)] méretű ablakot, futtatunk végig a szűrni kívánt kép minden pontján, úgy, hogy az aktuális képpont a kernel közepére esik, majd a kernel alá eső értékekből valamilyen eljárással kiszámolják az aktuális pixel szűrt értékét.

Általában ez a következő módon történik: legyen g(x,y)=F{f(x,y)}, ahol g(x,y) a szűrt kép x,y koordinátájú pontját, f az eredeti képet, F azt az operátort jelenti, amely az eredeti kép x,y koordinátájú pontja szomszédjainak intenzitás értékeiből kiszámolja a szűrt értéket. Azt a megfigyelést használjuk ki, hogy az egymáshoz közeli képpontok értékei jobban összefüggenek, mint az egymástól távoli pixelek. Ezeknek a szűrőknek egy másik fontos jellemzője, hogy nem rekurzívak. Ez azt jelenti, hogy az eljárás csak az eredeti intenzitásértékektől függ, azaz mindig az eredeti képből vesszük a képpont szomszédságát.

A digitális szűrők elméleti hátterét mutatja be a következő amináció.

Ebben az animációban áttekintjük a digitális szűrési eljárások elméleti alapjait

Flash lejátszó letöltése

Digitális szűrések elméleti alapjai

Vissza a tartalomjegyzékhez

Új Széchenyi terv
A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszirozásával valósul meg.

A Társadalominformatika: moduláris tananyagok, interdiszciplináris tartalom- és tudásmenedzsment rendszerek fejlesztése az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával, az ELTE TÁMOP 4.1.2.A/1-11/1-2011-0056 projekt keretében valósult meg.
A tananyag elkészítéséhez az ELTESCORM keretrendszert használtuk.